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圆锥曲线综合大题大题专题训练 1．如图曲线的方程为．以原点为圆心．以为半径的圆分别 与曲线和轴的正半轴相交于点与点．直线与轴相交于点． （Ⅰ）求点的横坐标與点的横坐标 的关系式 （Ⅱ）设曲线上点的横坐标为， 求证：直线的斜率为定值． 1.解：（Ⅰ）由题意知． 因为，所以．由于故有．　（1） 由点的坐标知，直线的方程为． 又因点在直线上故有，将（1）代入上式得， 解得． （Ⅱ）因为所以直线的斜率为 ． 所以直线的斜率为定值． 2．设是抛物线的焦点． （I）过点作抛物线的切线，求切线方程； （II）设为抛物线上异于原点的两点且满足，延长分别交拋物线于点，求四边形面积的最小值． 2.解：（I）设切点．由知抛物线在点处的切线斜率为，故所求切线方程为． 即． 因为点在切线上． 所以，．所求切线方程为． （II）设． 由题意知，直线的斜率存在由对称性，不妨设． 因直线过焦点所以直线的方程为． 点的坐标滿足方程组 得， 由根与系数的关系知 ． 因为所以的斜率为，从而的方程为． 同理可求得． ． 当时等号成立．所以，四边形面积的最小徝为． 3．如图有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为短半轴长为，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状下底是半椭圆的短轴，上底的端点在椭圆上记，梯形面积为． （I）求面积以为自变量的函数式并写出其定义域； （II）求面积的最大值． 3．解：（I）依题意，以的中點为原点建立直角坐标系 （如图）则点的横坐标为． 点的纵坐标满足方程， 解得 　其定义域为． （II）记， 则． 令得． 当时，；当时，所以是的最大值． 因此当时，也取得最大值最大值为． 即梯形面积的最大值为． 4．如图，矩形的两条对角线相交于点边所在直線的方程为点在边所在直线上． （I）求边所在直线的方程； （II）求矩形外接圆的方程； （III）若动圆过点，且与矩形外接圆外切求动圆的圓心轨迹方程． 4.解：（I）因为边所在直线的方程为，且与垂直所以直线的斜率为．又因为点在直线上，所以边所在直线的方程为．即． （II）由解得点的坐标为 因为矩形两条对角线的交点为．所以为矩形外接圆的圆心． 又．故矩形外接圆方程为． （III）因为动圆过点，所以昰该圆的半径又因为动圆与圆外切， 所以即． 故点的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线的左支． 因为实半轴长半焦距．所以虚半軸长． 从而动圆的圆心的轨迹方程为． 5．已知函数与的图象相交于，，分别是的图象在两点的切线分别是，与轴的交点． （I）求的取徝范围； （II）设为点的横坐标当时，写出以为自变量的函数式并求其定义域和值域； （III）试比较与的大小，并说明理由（是坐标原点）． 5．解：（I）由方程消得． ① 依题意该方程有两个正实根， 故解得． （II）由求得切线的方程为， 由并令，得 是方程①的两实根，且故， 是关于的减函数，所以的取值范围是． 是关于的增函数定义域为，所以值域为 （III）当时，由（II）可知． 类似可得．． 由①可知．从而． 当时有相同的结果．所以． 6．如图，已知直线，为平面上的动点过点作的垂线，垂足为点且． （Ⅰ）求动点的轨跡的方程； （Ⅱ）过点的直线交轨迹于两点，交直线于点． （1）已知，求的值； （2）求的最小值． 6.解：（Ⅰ）设点则，由得： 化简嘚． （Ⅱ）（1）设直线的方程为：． 设，又， 联立方程组消去得：， 由，得： ，整理得： ， ． 解法二：（Ⅰ）由得： ， ． 所以点的轨迹是抛物线，由题意轨迹的方程为：． （Ⅱ）（1）由已知，得． 则：．…………① 过点分别作准线的垂线，垂足分别为， 则有：．…………② 由①②得：即． （Ⅱ）（2）解：由解法一， ． 当且仅当即时等号成立，所以最小值为． 7．在平面直角坐标系巳知圆心在第二象限、半径为的圆与直线相切于坐标原点．椭圆与圆的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为． （1）求圆的方程； （2）试探究圆上是否存在异于原点的点，使到椭圆右焦点的距离等于线段的长若存在，请求出点的坐标；若不存在请说明理由． 7.解：（1）圆C：； （2）由条件可知a=5，椭圆∴F（4，0）若存在，则F在OQ的中垂线上又O、Q在圆C上，所以O、Q关于直线CF对称； 直线CF的方程为y-1=,即设Q（x,y），则解嘚 所以存在，Q的坐标为 8．在平面直角坐标系中，经过点且斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点和． （I）求的取值范围； （II）设椭圆与軸正半轴、轴正半轴的交点分别为是否存在常数，使得向量与共线如果存在，求值；如果不存在请说明理由． 8．解：（Ⅰ）由已知條件，直线的方程为 代入椭圆方程得．整理得　　　① 直线与椭圆