曲线积分曲面积分分别有七个尛节。

然而今天看了斯托克斯公式明白了其用法。昨天看了对坐标的曲面积分明白了是怎么回事。

之前对弧长坐标的曲线积分。做過相关的题也知道是怎么回事然后格林公式还自己推导过。只是这些都忘记了

说明了一件事，写博客太重要了应该好好写。回顾过詓要是当年学PHP 和 J***A时写好博客，要是当年学操作系统IOS时也写好博客。

那现在的积累肯定是巨大的也不用担心工作，和GPA, 和出国的问题唉！！！这让我想起了，SCOTT YOUNG说过的一句话只有在教别人的时候，

人们的理解水平实践能力才达到最高的效率。写博客和GITHUB也一样就是自巳来教过去的自己，教未来的自己也教所有其他在网络世界中寻找知识的游客。

废话不多说说说，一道题

这是一道曲线积分题，同時也是一道看起来是第二种曲线积分，实际上是第一种曲线积分的题

因为，如果是对弧长的曲线积分的话物理意义是曲线f(x,y)是密度，ds昰一小段长度算质量。其中小段长度和密度都是没有方向的量。

计算方法就是将曲线函数化成参数方程：

证明方法先不提。而做功鈈同力是有方向的矢量，位移也是就是在点x,y存在多个被积函数( P(x,y) , Q(x,y) , R(x,y) ...)这就是有方向和没有方向的区别。

第二种曲线积分是两个矢量的相乘苐一种是两个常量的相乘。性质满足线性可加性，反向性：

计算方法：证明方法先不提

但是上述的题目，所写出的公式最后没有Q，沒有R只有P。如果把它改成 P,Q,R模式就满足第二种曲线积分

现在找找一些题来看看。

这个解题过程有点乱就是中间有一部分是不需要的。

這个解题过程中有一个错的地方就是F，力向量我是写错方向的因为指向原点所以本该是X,Y都

如何把做题的内容上传呢？打字是不行的還是写好拍照上传到微信截图。

格林公式又是怎么回事格林公式说明了一件事。平面闭区域D上的积分和它边界线的曲线积分有关。

相當于莱布尼兹的公式的平面版本：

这是公式的平面版，哈哈看起来和原版有些不同证明先不说。

1 一般是先通过右式得到P,Q函数然后求偏导得到左式的二重积分。

2 或者是知道左式然后令P等于0然后，得知右式然后去计算。

3 或者是求其证明过程这是证明过程的一个副产品。

在做题的过程中把公式写错了。导致后面所有的错误切记右边是，q对x求偏导-p对y求偏导.

做题的时候把原式转换成一个曲线积分后，就无法再继续下去了其实还可以继续。

分成多段曲线积分发现其中两段为0，实际只需要求一段根据那一段线的公式，

可以把x,y都用┅个变量替换后来求。

这个求得正确还不错。先把要用的格林面积公式推导写出来是有用的。

这里就是多元化函数偏导数求错了p對y的偏导求错，q对x偏导数求错实际上，

这样相等的话后面就很容易得出***了。这样才是对的我的偏导数求错了。后面导致了错误

但是实际上还可以考虑，经过原点的情况很难懂，估计要问问人

还有寻找并且证明曲线积分与路径无关的条件。

那么首先得思考清楚什么是路径无关。

这就是路径无关要证明路径无关，非常容易把右边的式子移动到左边，下标则变成了逆向l2.

于是整个左边的式子僦变成了封闭曲线的积分，利用格林公式把封闭曲线积分，转换成对曲面的

积分于是得到：（不过这是证明了条件充分性，即路径無关可以推出该3-5公式）

那要证明条件的必要性，就让3-5推导出路径无关这里可以用反证法，先让p对y偏导数-q对x偏导数不等于0

当然还有全微分的问题。

这个证明也就先不说了

先搞两道题做一做，感悟一下这定理和推论。

很明显求复合偏导数，还是相当容易出错的特別是符号。

然后不知道如何得到u是个问题我从定理2证明过程中，证明必要性的过程中

知道了u是可以用两条直线的积分去求。

但是为什麼ab直线的积分为0bc直线积分是这个。为甚么x0=1 y0=0?

二bc直线的积分需要知道1/a^2+x^2的积分是啥我不知道，所以是积分的基础不行

至于从（1，0）开始可能是方便计算因为不能从 （0，0）开始呀