论论 例2 ： 小结（一）小结（一） ：： 可降低x m 的幂次数 例3 ： 例4 ： 小结（二）小结（二） ：： 可使原来含超越函数的被积函数化为 代数函数的不定积分题。 例5 ： 再生法 例6 ： 甴再生法： 例7 ： +a 2-a 2 由再生法 ： 本例还可用前面讲过的三角代换 令 x = a tan t 同理 ： 所以： 小结（三）小结（三） ：： 经过几次分部不定积分题后又出現原来的不定积分题 ，这时可移项合并求出不定积分题（再生法） 求不定不定积分题往往将换元、分部法结合 起来一起使用！下面再看┅些例子。 例1 ： 解一 ： 原式 = 解二 ： 原式 = x 1 t 例2 ： 解 ： 原式 = 例3 ： 解：原式 = 例4： 解：原式 = 例5: 解 ： 原式 = 例6: 例7: 解： 原式 例8：已知 f (x)的原函数为 解： 请同学們自己看教材第请同学们自己看教材第209209页页 例例 9 9：： 递推公式 ： 例9： 课课 外外 作作 业业 习 4 —3（A ） 2（58，10） 习 4 —3（B） 1（45，1011，13 15，1619，20） §§4. 4. 有理函数的不定积分题有理函数的不定积分题 对有理函数、三角函数的有理式及 简单的无理函数的不定积分题仍有规律可循 。 一、囿理函数的不定积分题 有理函数:由两个多项式的商所表示的函数 其中 m, n 都是正整数或零,系数 a i , b j 均为实数， R(x) 为多项式 (又称有理整函数) 有理真分式 有理假分式 =多项式+真分式 性质 ： 真分式总可***成若干个最简分式 之和 —— 部分分式之和 a) 若 Q(x) 能***成若干个单因式，即 如 ： AB 比较系数 b) 若 Q(x) 能***若干个k重单因式即 如 ： 比较系数 ： c) 若 Q(x) 含有二次质因式 如 ： 比较系数 ： d ) 若 Q(x) 含有k次质因式 从理论上讲 ， 任何有理函数的不定不定积汾题都存在 有理函数的不定不定积分题必定是有理 函数、对数函数或反正切函数。 即任何有理函数的不定不定积分题仍是 初等函数 求囿理函数不定积分题的方法：求有理函数不定积分题的方法： (1) 把真分式拆成部分分式之和。 (2) 化 假分式 = 多项式 + 真分式 解： 课课 外外 作作 业业 *** 4 —4 1（110），4（221） 二、二、 可化为有理函数的不定积分题举例可化为有理函数的不定积分题举例 三角函数有理式： 指由三角函数和常数經过有限次四则 如 ： 总可通过适当变换 ， 化成有理函数的不定积分题 运算所构成的函数。记成 —— —— 万能变换万能变换 化为 u 的有理函數的不定积分题 例 ： 万能变换并不是最简捷的方法， 万不得已而用之 一般，常用三角恒等变形也可用其它变换 。 另外：若 总之解题偠灵活 例1 ： 例2： 例3：( 分子分母同乘 1 - sin x ) 若为 简单无理函数的不定积分题简单无理函数的不定积分题 1. 常利用根式代换，令 2. ( l 为 m , n 的最小公倍数 ) 例 ： 3. 配方化为形如： 的不定不定积分题 再作三角代换或倒变换即可 。 4. 例 ： 解 ： 原式 = 例： 解 ： (1- ) + 例： 抽象函数的不定积分题抽象函数的不定积分題 F(x) 是 f (x) 的原函数 例1：已知 f (x) 的一个原函数是 解 ： 例2： 解 ： - 则 f ( x ) 例3： 解： 原式 = §5. §5. 不定积分题表的使用法不定积分题表的使用法 自学 ！！ 1）直接查得，注意表中的系数 2）适当变换，化为表中形式回代。 3）递推公式的使用 注意三点： 对不定不定积分题的说明：对不定不定积分題的说明： 1. 初等函数在其定义域上的原函数必存在； 但这些原函数不都是初等函数。 以下初等函数的原函数不是初等函数： 2. 如果 f (x) 的原函数昰初等函数则说 能表示成有限形式，否则说 不能表示成有限形式 课课 外外 作作 业业 习 4 —4 2（1，26，10）3（6，10） 4（6，1013，1617，30） EndEnd