∴向量组a1a2，a3的秩为3
∴向量组a1a2，a3a4的秩为3
设OABC是不共面的四点 则对空间任意一点P 都存在唯一的有序实数组(x,y,z)。
向量组α1α2，···αs向量线性无关关等价于R{α1，α2···，αs}=s若向量组α1，α2···，αs可被向量组β1β2，···βt线性表出，则R{α1α2，···αs}小于等于R{β1，β2···，βt}
等价的向量組具有相等的秩。若向量组α1α2，···αs向量线性无关关，且可被向量组β1β2，···βt线性表出，则s小于等于t
向量组α1，α2···，αs可被向量组β1β2，···βt线性表出，且s>t则α1，α2···，αs线性相关任意n+1个n维向量线性相关。
例1 总结:向量组的有关结论 例3 例4 * 单個向量组成的向量组? : (1)若? = 0, 则线性相关; (2)若? ? 0, 则向量线性无关关. 两个向量组成的向量组?, ? : (1)若对应分量成比例,则线性相关; (2)若对应分量不成比例,则向量线性无关关. 复习线性相关性的判定理论 设有n维向量组成的向量组:?1,?2,…,?m (1)包含0向量?线性相关. (2)包含成比例的向量?线性相关. (3)线性相关?存在一个向量可由其余的 向量线性表示. (4)向量线性无关关?任何向量都不能由其余的 向量线性表示. (m?2) 增加(减少)个数不改变相(无)关性. (5) (6) 增加(减少)维数不改变无(相)关性. (7) 向量组?1,?2,…,?m线性相关性 ?x1?1+x2?2+…+xm?m=0有非零解 ?齐次线性方程组AX=0有非零解 3.向量组的秩与矩阵的秩的关系. 本节 主要内容 4.3.1 向量组的极大无关组与秩 定义1 设S是n维向量构成的向量组,在S中 选取r个向量 ,如果满足 (1) 向量线性无关关 (2)任取 S,总有 线性相关. 则称向量组 为向量组S的一个 极大向量线性无关关组(简称极大无關组). 数 r 称为该向量组的秩,记为 r(?1, ?2, … , ?s)= r 或秩(?1, ?2, … , ?s)= r 即 ? 可由?1, ?2, … , ?m线性表示. 下面来证明表示的唯一性. 假若? 有两种表示法,设 两式相减,得 由?1,?2,…,?m 向量线性无关关,得 ? 鈳由?1,?2,…,?m 唯一线性表示. 故 设有两个 n 维向量组 若(I)中每个向量都可由(II)线性表示, 则称 向量组(I)可由向量组(II)线性表示. 若向量组(I)和(II)可以互相线性表示, 则称姠量组(I)与(II)等价. 定义2 4.3.2 向量组的等价 等价的性质 自反性、对称性、传递性 n维向量组 存在数 ,使得 即 定义 存在r×s矩阵K,使得 Bn×s =An×r 向量组(II)可由向量组(I)线性表示 极大无关组与原向量组的关系? 极大无关组之间的关系? 这都要用到两个向量组之间的关系. 向量组极大无关组的几个问题: 向量组与它的極大无关组等价. 证 设(I)