第1章 函数与极限习题解答 第1章 函數与极限习题解答 1. 两个无穷小的商是否一定是无穷小举例说明之. 解 不一定. 例如, 当x0时, ax2x, bx3x都是无穷小, 但, 不是无穷小. 2. 函数yxcos x在-, 内是否有界这个函数是否为当x 时的无穷大为什么 解 函数yxcos x在-, 内无界. 这是因为M0, 在-, 内总能找到这样的x, 使得|yx|M. 例如 1-x和1-x3是同阶的无穷小, 但不是等价无穷小. ⅱ 因为, 所以当x1时, 1-x和是哃阶的无穷小, 而且是等价无穷小. 7. 利用等价无穷小的性质, 求下列极限 解 1. 2 . 3 . 4因为 x0， x0x0, 所以 . 8. 下列函数在指出的点处间断, 说明这些间断点属于哪一類, 如果是可去间断点, 则补充或改变函数的定义使它连续 1， x1 x2； 解 . 因为函数在x2和x1处无定义, 所以x2和x1是函数的间断点. 因为, 所以x2是函数的第二类间斷点; 因为, 所以x1是函数的第一类间断点, 并且是可去间断点. 在x1处, 令y-2, 则函数在x1处成为连续的. 2, xkp, k0, 1, 2, ； 解 函数在点xkpkZ和kZ处无定义, 因而这些点都是函数的间断點. 因k0, 故xkpk0是第二类间断点; 因为, kZ, 所以x0和kZ 是第一类间断点且是可去间断点. 令y|x01, 则函数在x0处成为连续的; 令时, y0, 则函数在处成为连续的. 3 x0； 解 因为函数在x0处無定义, 所以x0是函数的间断点. 又因为不存在, 所以x0是函数的第二类间断点. 4 ， x 1 解 因为,, 所以x1是函数的第一类间断点，跳跃间断点 9. 讨论函数的连續性, 若有间断点, 判别其类型. 解 . 在分段点x-1处, 因为, ,所以x-1为函数的第一类间断点，跳跃间断点 在分段点x1处, 因为, , 所以x1为函数的第一类间断点，跳躍间断点 10.求下列极限 解 1 . 2 . 3 . 4 . 5 . 6. 因为 ， 所以. 7 。 11. 设函数, 应当如何选择数a, 使得fx成为在-, 内的连续函数 解 要使函数fx在-, 内连续, 只须fx在x0处连续, 即只须 .