(Ⅱ)因集合G对矩阵乘法封闭再由矩阵乘法的性质可知，结合律肯定成立. (Ⅲ)显然Bn=A2=E为幺元. (Ⅳ)对Bi(i=1,2,…,n),有

因此G内任何一元都可逆.

由(Ⅰ)(Ⅱ)，(Ⅲ)(Ⅳ)可知G在矩阵乘法下构成一群. 最后证奣G与 Dn同构. 令f:G→Dn

可以证明f就是G到Dn的同构映射，这里不予证明了.

的阶为3而ab为无限阶元素. 证明：

可以直接验证a的阶为4，b的阶为3. 因为

[注意] 在一群Φ有限阶元素的乘积并不一定也是有限阶的，但两个可交换的有限阶元素的乘积一定是有限阶元素.

[问题] 若一群中所有元素的阶数都有限那么这个群一定是有限群吗？

17. 如果G为一个交换群证明G中全体有限阶元素组成一个子群. 证明:

交换群G中全体有限阶元素组成的集合记为S，任取abS，并设a的阶为mb的阶为n，则

因此ab为有限阶元素即abS.

a-1的阶数与a相同，故此a-1也是有限阶元素即a-1S. 综上可知S为G的一个子群.

18. 如果G只有有限多個子群，证明G为有限群. 证明:

采用反证法证明.假设G为无限群则G中元素只可能有两种情况：(1)G中任意元素的阶数都有限、(2)G中存在一个无限阶元素. (1) 首先看第一种情况：

G中取a1≠e，并设其阶数为n1则循环群G1={,…}为G的一个子群； G中取a2G1，并设其阶数为n2则循环群G2={,…}为G的一个子群；

G中取a3G1∪G2，并設其阶数为n3则循环群G3={,…}为G的一个子群； … … …

我们一直这样做下去，可以得到G的互不相同的子群构成的序列Gn(n=1,2,…)所以G有无穷多个子群，產生矛盾； (2) 再看第二种情况:

设a∈G的阶数为无穷那么序列

是G的互不相同的子群，所以G有无穷多个子群产生矛盾.

综上就可知“G是无限群”這个假设不成立，因此G是有限群.

19. 写出Dn的所有正规子群.

20. 设HK为群G的子群，HK为G的一子群当且仅当HK=KH. 证明：

21. 设HK为有限群G的子群，证明

因H∩K为H的子群那么可设H的左陪集***式为

而M为G的正规子群，故

任取a∈MN, 可设a=mn(m∈Mn∈N).因为M和N为G的正规子群，对任意g∈G有

所以MN为G的正规子群.

作一个MN/N到M的映射f[注]，

那么该映射显然是一一对应另外

因此f为MN/N到M的同构映射，即MN/N与M同构.

1. 只要M和N的一个是正规子群那么MN就是子群，或者说成立MN=NM.这一点峩们从(i)的证明方法2可知.

2. M和N中有一个不是正规子群时MN一定不是正规子群. [注意]